Benjamin Heimann Komplexe Zahlen mit einer Anwendung in der Physik Facharbeit im Fach Mathematik 21

Benjamin Heimann

Komplexe Zahlen
mit einer Anwendung in der Physik
Facharbeit im Fach Mathematik

21. Februar 2018
Helmholtz-Gymnasium Bonn

Komplexe Zahlen

Benjamin Heimann

Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung

4

2. Rückblick

5

3. Imaginäre Zahlen
3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Potenzen von i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Negative Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
6
6

4. Definition komplexer Zahlen
4.1 Definition als Paar reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . .
4.2 Arithmetische Definition . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Die Menge C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Addition und Multiplikation in C . . . . . . . . .
4.2.3 Multiplikation mit reellen und imaginären Zahlen
4.2.4 Komplexe Konjugation . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Division in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Notwendigkeit der komplexen Zahlen . . . . . . . . . .
5. Körper von C
5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Was ist ein Körper? . . . .
5.1.2 Verknüpfungsdefinition . .
5.1.3 Grundaxiome . . . . . . .
5.1.4 Gruppendefinition . . . .
5.1.5 Körperdefinition . . . . .
5.2 R als Körper . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Axiome der Addition . . .
5.2.2 Axiome der Multiplikation
5.2.3 Distributivität, Ergebnis . .
5.3 C als Körper . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Axiome der Addition . . .
5.3.2 Axiome der Multiplikation
5.3.3 Distributivität . . . . . . .
5.3.4 Ergebnis . . . . . . . . . .

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6. Darstellung der komplexen Zahlen
6.1 Die reellen Zahlen am Zahlenstrahl . . . . . . . . . . .
6.1.1 Addition am Zahlenstrahl . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Multiplikation am Zahlenstrahl . . . . . . . . .
6.2 Die imaginären Zahlen am Zahlenstrahl . . . . . . . .
6.3 Die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene .
6.3.1 Addition in der Gaußebene . . . . . . . . . . .

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Komplexe Zahlen

6.4

Benjamin Heimann

Die komplexen Zahlen in Polarform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Exponentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7. Anwendung in der Physik: Überlagerung von Schwingungen

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Quellen
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Anhang
Protokoll: Mathematik Stunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Handout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Eigenständigkeitserklärung

31

Komplexe Zahlen

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Benjamin Heimann

1. Einleitung
Komplexe Zahlen werden eigentlich nicht in der Schule behandelt, denn sie sind, zumindest in Nordrhein-Westfalen, nicht Teil des Lehrplans Mathematik der gymnasialen Oberstufe1 .
Ziel der Facharbeit ist, eine verständliche Einführung in die komplexen Zahlen zu bieten, die sich
an Schüler der gymnasialen Oberstufe richtet, die sich dennoch für dieses Thema interessieren. Denn
obwohl komplexe Zahlen ein abstraktes Thema sind, gibt es durchaus bei einigen Schülern Interesse für derartige Themen. Für viele, die sich entscheiden, später einmal im mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich zu studieren, sind komplexe Zahlen auch Bestandteil des Studiums, weshalb
Vorkenntnisse von großem Vorteil sein können.
Zunächst stelle ich die imaginären Zahlen vor und beschreibe die Besonderheiten der imaginären
Einheit i. Anschließend zeige ich verschiedene Arten, die imaginären Zahlen mit den reellen Zahlen
in Form von komplexen Zahlen zu verbinden und erläutere die Rechenregeln und Vereinfachungen
diesbezüglich. Außerdem werde ich verifizieren, dass es sich bei den komplexen Zahlen, wie bei den
reellen Zahlen, um einen Körper handelt, indem ich zeige, dass auch dort alle Körperaxiome gelten.
Dann komme ich zu den Interpretations- und Darstellungsmöglichkeiten der komplexen Zahlen, wobei
ich zuerst von der Darstellung der reellen Zahlen am Zahlenstrahl auf die Gaußsche Zahlenebene
schließe. Ich zeige schließlich an einem Beispiel in der Physik, welche Anwendungsmöglichkeiten es
in der Praxis für die komplexen Zahlen gibt.
Teil dieser Facharbeit ist außerdem eine Unterrichtsstunde Mathematik, in der ich Schüler der Qualifikationsphase 1 der Oberstufe in die komplexen Zahlen einführe. In dieser Stunde versuche ich, den
Schülern die grundlegenden Inhalte der Facharbeit anschaulich und mit verschiedenen didaktischen
Ansätzen zu erläutern. Das Protokoll mit der Planung dieser Unterrichtsstunde und Arbeitsmaterial
sind als Anhang beigelegt.

1

Vgl. Schulministerium NRW 2014.

Komplexe Zahlen

-5-

Benjamin Heimann

2. Rückblick
In der Vergangenheit musste der Zahlenbereich2 immer wieder erweitert werden, um alle Aufgaben lösen zu können. So rechnet man anfangs in der Grundschule noch mit dem Zahlenbereich der
natürlichen Zahlen N := {0, 1, 2, …}. In diesem kann man allerdings keine negativen Ergebnisse berechnen. Dieser Zahlenbereich wird schnell von den ganzen Zahlen Z abgelöst, die N um negative
(ganze) Zahlen erweitern. Damit lässt sich nun auch mit negativen Zahlen rechnen. Erweitert man
den Zahlenraum auf die rationalen Zahlen Q, lassen sich auch Divisionen ohne Rest durchführen. Die
letzte bekannte Erweiterung des Zahlenraums sind die reellen Zahlen R, in denen nun auch irratio?
nale Zahlen wie ?, e oder 2 vorkommen. Die kontinuierliche Erweiterung des Zahlenbereiches, mit
dem Anfang bei den natürlichen Zahlen, ist auf der Abbildung des Deckblatts anschaulich dargestellt.
Doch einige Dinge lassen sich in R immer noch nicht lösen, wie zum Beispiel das Ziehen von negativen Wurzeln. Das erscheint logisch, da es keine Zahl gibt, die quadriert eine negative Zahl ergibt3 .
Um diese Aufgabe lösen zu können, muss der Zahlenraum erneut erweitert werden.

3. Imaginäre Zahlen
3.1 Definition
?
Was geschieht, wenn man trotzdem annimmt, ?1 wäre lösbar? Man erschafft eine neue Art von
Zahl, die nicht mit den reellen Zahlen vergleichbar ist. Dies sind die imaginären Zahlen. Imaginäre
Zahlen sind die Quadratwurzeln negativer reeller Zahlen. Um den Unterschied zu den herkömmlichen
reellen Zahlen deutlich zu machen, kennzeichnet man imaginäre Zahlen mit der imaginären Einheit i,
wobei gilt:4
?
i := + ?1
(3.1)
? i2 = ?1.
Die Gleichung x2 = ?1 hat dabei zwei Ergebnisse:5
x2 = ?1
x1,2 = ±

?

|
?1

?

(3.2)

x1,2 = ± i.
Man rechnet mit der Einheit i wie mit jeder gewöhnlichen anderen Einheit: Sie wird mit der vorangehenden Zahl multipliziert.
?
?
?
Beispiel: Die Wurzel aus -16 ist 4i, da ?16 = 16 · ?1 = 4 · i.
Multipliziert man imaginäre Zahlen miteinander, können dabei wieder reelle Zahlen entstehen. Bei?
?
?
?
spiel: ?5 · ?20 = 5 i · 20 i = ?10.

2

Zahlenbereich bzw. Zahlenraum: Zahlenmenge, innerhalb der man alle mathematischen Operationen durchführt. Beschränkt man sich auf einen Zahlenbereich (z.B. N), kann man nur mit den Zahlen rechnen, die in dieser Menge vorhanden sind (z.B. positive, ganze Zahlen).
3
negative Vorzeichen werden beim Quadrieren aufgehoben: (?x)2 = (?x) · (?x) = x2 ? x2 > 0.
4
Vgl. Lang und Pucker 2016, S. 51.
5
Vgl. Königsberger 1995, S. 21.

Komplexe Zahlen

-6-

Benjamin Heimann

Man muss dabei beachten, dass die Einheit i immer getrennt behandelt („ausgeklammert”) werden
muss, um Fehler6 zu verhindern.
Die Menge der imaginären Zahlen enthält alle Vielfachen von i und könnte man definieren als
J = {j | j = y · i ? y ? R} (Die Menge J7 enthält alle Elemente j, für die gilt j = y ·
i und y ist enthalten in R).

3.2 Potenzen von i
Potenziert man die imaginäre Einheit i, erhält man immer wieder regelmäßige Ergebnisse:8
i0 = 1
i1 = i

?
i2 = ( ?1)2 = ?1
i3 = i2 · i = ?i

(3.3)

i4 = i2 · i2 = 1
i5 = i4 · i1 = i.
Man sieht, dass das Ergebnis regelmäßig zwischen i, ?1, ?i und 1 alterniert. Allgemein gilt:
?
?
?
i
für (n mod 4) = 1
?
?
?
?
??1 für (n mod 4) = 2
in =
: n>0
?
?
?i für (n mod 4) = 3
?
?
?
?
?1
für (n mod 4) = 0.

(3.4)

Man muss lediglich den Exponenten n von in (n > 0) durch 4 teilen9 und den Rest (Modulo10 )
betrachten und kann das Ergebnis mit diesem ablesen. Beispiel: i15 = ?i, weil (15 mod 4) = 3.
3.2.1 Negative Exponenten
Bei negativen Exponenten i?n kann man den Bruch durch Erweitern vereinfachen:11
i?1 =

1
i
i
= 2 =
= ?i.
i
i
?1

(3.5)

Alle i-Potenzen mit negativem Exponenten lassen sich so zu i?n = (i?1 )n = (?i)n umformen.
Das negative Vorzeichen von (?i)n verschwindet bei geraden Exponenten. Deshalb decken sich die
Ergebnisse von i?n mit denen von in für gerade Exponenten:
?
?
?
?i für (n mod 4) = 1
?
?
?
?
??1 für (n mod 4) = 2
i?n =
: n>0
(3.6)
?
?
i
für (n mod 4) = 3
?
?
?
?
?1
für (n mod 4) = 0.

p
?
?
?
Falsch wäre z.B.: ?5 · ?20 = (?5) · (?20) = 100 = 10.
Das Symbol J dient hier zur Definition der Menge, ist aber kein geläufiges Symbol für die imaginären Zahlen.
8
Vgl. Apsel 2003.
9
Weil für alle Exponenten, die Vielfache von 4 sind, gilt: i4n = (i4 )n = 1n = 1.
10
mod = Modulo. Operation, die den Rest einer Division ausgibt. Beispiel: (10 mod 3 ) = 1 oder (12 mod 5 ) = 2
11
Hier und im Rest des Abschnitts ist n der Betrag des (negativen) Exponenten.
6
7

Komplexe Zahlen

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Benjamin Heimann

Beispiel: i?8 = 1, weil (8 mod 4) = 0.
Behält man diese Vereinfachungen im Auge, ist das Rechnen mit imaginären Zahlen später einfacher.

4. Definition komplexer Zahlen
Interessant wird es, wenn man die imaginären Zahlen mit den reellen Zahlen verknüpft. Dann erhält
man die komplexen Zahlen C, mit denen sich schließlich diese Facharbeit beschäftigt. Es gibt verschiedene Arten, die komplexen Zahlen bzw. die Art der Verbindung zwischen reellen und imaginären
Zahlen zu definieren. Hier erklärt werden zum einen die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen
und zum anderen, etwas ausführlicher, die komplexen Zahlen als Summen aus reellen und imaginären
Zahlen. Diese beiden Definitionen ähneln sich dabei sehr stark.

4.1 Definition als Paar reeller Zahlen
Wie bereits allgemein geäußert, sind komplexe Zahlen miteinander verknüpfte reelle und imaginäre
Zahlen. Da imaginäre Zahlen, abgesehen von der imaginären Einheit i, auch reelle Zahlen sind, kann
man eine komplexe Zahl z auch als Paar reeller Zahlen beschreiben.12 Dabei gilt:
z := (x, y) | x, y ? R.

(4.7)

Jede komplexe Zahl besteht aus einem Paar reeller Zahlen, einem Tupel13 . Dabei ist x der Realteil und
y der Imaginärteil der komplexen Zahl. x und y sind beides reelle Zahlen. Die Menge der komplexen
Zahlen enthält nach dieser Definition alle Kombinationen zweier reeller Zahlen, also ist C = R × R,
wobei R × R das kartesische Produkt14 von R mit sich selbst ist.15 Für rein reelle oder imaginäre
Zahlen (x = 0 ? y = 0) lässt sich auch schreiben: (x, 0) = x und (0, y) = y · i.
Ein Beispiel für eine komplexe Zahl wäre z = (22, 6).
Komplexe Zahlen werden wie folgt addiert und multipliziert:
(x, y) + (u, v) := (x + u, y + v)
(x, y) · (u, v) := (xu ? yv, xv + yu)

(Addition)
(Multiplikation)

Nähere Erläuterungen hierzu finden sich in Abschnitt 4.2, der das gleiche Prinzip anhand der arithmetischen Form beschreibt.
Diese Definition veranschaulicht die Abgrenzung zwischen Real- und Imaginärteil der komplexen
Zahl sehr gut. Außerdem legt sie die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen als Vektoren
nahe, da Vektoren ebenfalls Tupel aus dem Vektorraum R2 sind und mit diesen ähnlich gerechnet
wird. Auf diese Darstellungsweise werden wir in Abschnitt 6.3 noch zurückkommen.

12

Vgl. Königsberger 1995, S. 20.
Element, das weitere untergeordnete Elemente enthält (Hier handelt es sich um 2-Tupel). Beispiel für ein 3-Tupel: (3, 5, 1).
14
Das Produkt von Mengen, bei dem in der Endmenge alle Kombinationen der Elemente der Ursprungsmengen geordnet
in Tupeln vorhanden sind.
15
R × R kann auch als R2 geschrieben werden ist ein zweidimensionaler Vektorraum.
13

Komplexe Zahlen

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4.2 Arithmetische Definition
Aus Abschnitt 4.1 lässt sich schließen, dass (x, y) auch als x + y · i geschrieben werden kann:16
(x, y) = (x, 0) + (y, 0) · (0, 1) = x + y · i.

(4.8)

Bei der arithmetischen Definition sind reelle und imaginäre Zahlen durch die Addition verknüpft. Eine
komplexe Zahl z ? C ist definiert als die Summe einer reellen und einer imaginären Zahl:
z := x + y · i | x, y ? R.

(4.9)

Hier ist ebenfalls x der Realteil und y der Imaginärteil der Komplexen Zahl. x und y sind beides reelle
Zahlen. Der Imaginärteil unterscheidet sich hier aber vom Realteil dadurch, dass ihm die imaginäre Einheit i angehängt ist. Realteil und Imaginärteil (in Einheit i) werden addiert und ergeben die
komplexe Zahl z. Dabei ist anzumerken, dass die beiden Teile der komplexen Zahl niemals (außer bei
x = 0 ? y = 0) „zusammengerechnet” werden können, sondern das + eher als eine Art Trennzeichen, wie das Komma in 4.1, fungiert.17
Diese Form wird arithmetische Form genannt und wird am häufigsten verwendet, weil sie sich gut
zum Rechnen eignet. Das ist auch die Definition, auf die die weiteren Abschnitte dieser Facharbeit
aufbauen.
Man kann für den Realteil auch kurz Re und für den Imaginärteil Im schreiben. Zusätzlich fungieren diese Abkürzungen als Funktionen, die den jeweiligen Teil einer komplexen Zahl ausgeben:
Re(z) = x und Im(z) = y.
Ein Beispiel für eine komplexe Zahl wäre z = 22 + 6 · i.
4.2.1 Die Menge C
Eine komplexe Zahl ist also in der Regel eine Summe einer reellen und einer imaginären Zahl. Doch
auch „reine” reelle oder imaginäre Zahlen sind komplexe Zahlen: Ist der Imaginärteil y = 0, handelt
es sich bei z um eine reelle Zahl. Ist dagegen der Realteil x = 0 (und der Imaginärteil y 6= 0), handelt
es sich bei z um eine imaginäre Zahl. Sind beide Teile x, y 6= 0, handelt es sich um eine „echte”
komplexe Zahl.
Es wird deutlich, dass in C sowohl die reellen Zahlen R als auch die imaginären Zahlen J und ebenso
alle möglichen Kombinationen dieser beiden Mengen vorhanden sind. R und J sind also Teilmengen
von C (R, J ? C). Die Menge der komplexen Zahlen ist definiert als:
C := {z | z = x + y · i ? x, y ? R}.
4.2.2 Addition und Multiplikation in C
Die komplexen Zahlen z = z1 + z2 · i und w = w1 + w2 · i werden auf folgende Weise addiert und
multipliziert:18

16

z + w := (z1 + w1 ) + (z2 + w2 ) · i

(A)

z · w := (z1 + z2 · i) · (w1 + w2 · i) = (z1 · w1 ? z2 · w2 ) + (z1 · w2 + z2 · w1 ) · i.

(M)

Vgl. Königsberger 1995, S.22.
Vgl. Embacher 2011, S. 20.
18
Vgl. ebd., S.19.
17

Komplexe Zahlen

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Bei der Addition gilt, dass jeweils die beiden Realteile und die beiden Imaginärteile addiert werden
und zusammen die komplexe Zahl z + w ergeben.
Die Multiplikation erfolgt distributiv. Die beiden Klammern müssen, wie von den reellen Zahlen gewohnt, ausmultipliziert werden. Dabei ist zu beachten, dass das Produkt z2 i · w2 i eine reelle Zahl ist
(wegen i2 = ?1) und deshalb (mit negativem Vorzeichen) mit dem Realteil addiert wird.
Das Ergebnis von Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl.
Die Subtraktion wird nicht näher erläutert, da sie leicht in eine Addition mit negativem Vorzeichen
umgewandelt werden kann.
Beispiel: Addition und Multiplikation von z = 3 + 6i und w = 8 + 2i:
z + w = (3 + 6i) + (8 + 2i) = (3 + 8) + (6 + 2)i = 11 + 8i
z · w = (3 + 6i) · (8 + 2i) = (3 · 8 ? 6 · 2) + (3 · 2 + 6 · 8)i = 12 + 54i.
4.2.3 Multiplikation mit reellen und imaginären Zahlen
Möchte man eine komplexe Zahl z = z1 + z2 · i mit einer „rein” reellen (r ? R) oder imaginären
Zahl j = y · i (j ? J) multiplizieren, gilt zusätzlich zu der Multiplikationsregel aus 4.2.2:
z · r = (z1 + z2 · i) · (r + 0 · i) = (r · z1 ) + (r · z2 ) · i

(4.10)

z · j = (z1 + z2 · i) · (0 + y · i) = (?y · z2 ) + (y · z1 ) · i

(4.11)

Bei der Multiplikation mit der reellen Zahl müssen also lediglich Real- und Imaginärteil von z mit ihr
multipliziert werden. Bei der Multiplikation mit der imaginären Zahl j müssen beide Imaginärteile
multipliziert werden und ergeben, mit negativem Vorzeichen, den neuen Realteil. Der neue Imaginärteil entsteht aus dem Produkt vom Imaginärteil von j und dem Realteil von z. Besonders die Multiplikation von komplexen Zahlen mit reellen Zahlen erweist sich als sehr einfach.
Beispiel: Multiplikation von z = 2 + 3i mit r = 5 bzw. j = 5i:
z · r = (2 + 3i) · 5 = (5 · 2) + (5 · 3)i = 10 + 15i
z · j = (2 + 3i) · 5i = (?5 · 3) + (5 · 2)i = ?15 + 10i.
4.2.4 Komplexe Konjugation
Ist z = x + y · i | z ? C , heißt die Zahl z := x ? y · i zu z komplex konjugierte Zahl und wird
mit einem Strich über der Variable gekennzeichnet. Der Imaginärteil der komplex konjugierten Zahl
z hat dabei das gegenteilige Vorzeichen des Imaginärteils von z , sonst sind beide Zahlen identisch.
Für die Rechnung mit komplex Konjugierten gelten folgende Rechenregeln:19
z+w = z+w

(4.12)

z·w = z·w

(4.13)

z + z = 2 · Re(z)

(4.14)

z ? z = 2 · Im(z) · i

(4.15)

z = z | z?R

19

(4.16)

Vgl. Königsberger 1995, S. 22. Diese lassen sich leicht mit der Additions- und der Multiplikationsregel aus Abschnitt 4.2.2
beweisen, was hier der Übersichtlichkeit halber aber nicht getan wird.

Komplexe Zahlen

– 10 –

Benjamin Heimann

Nach der Multiplikationsregel (siehe 4.2.2) bzw. nach der 3. binomischen Formel20 gilt:
z · z = (x + y · i) · (x ? y · i) = x2 + y 2 .

(4.17)

Das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer komplex Konjugierten ist also immer eine reelle Zahl.
Die Wurzel aus diesem Produkt wird Betrag von z genannt und es gilt:
p
?
|z | :=
z·z =
x2 + y 2
(4.18)
|z |2 = z · z.
Geometrisch ist der Betrag die Länge des Vektors der komplexen Zahl z. Dies wird in Abschnitt 6.3
näher erläutert. Für z ? R entspricht der Betrag der herkömmlichen Definition.21 Für den Betrag von
komplexen Zahlen gelten außerdem folgende Regeln:22
|z | ? 0

(4.19)

p
|z | = |z | =
x2 + (?y)2

(4.20)

|z · w | = |z | · |w |

(4.21)

4.2.5 Division in C
Die Division von komplexen Zahlen erscheint zunächst kompliziert. Wir können uns aber die komplexe Konjugation zunutze machen und die Division erleichtern. Wir starten mit einem Beispiel: Die
komplexe Zahl z = 10 + 5i soll durch w = 4 ? 2i dividiert werden:
z
(10 + 5i)
(10 + 5i) · (4 + 2i)
(30 + 40i)
(30 + 40i)
3
=
=
=
=
=
+ 2i.
2
2
w
(4 ? 2i)
(4 ? 2i) · (4 + 2i)
4 +2
20
2
Die zuerst scheinbar unlösbare Aufgabe wird durch Erweiterung des Bruches mit der komplex konjugierten Zahl w und Anwendung von (4.17) stark vereinfacht. Dann muss nur noch der Nenner gekürzt
werden (nach (4.10), mit dem Kehrwert des Nenners als reellen Faktor).23
Allgemein gilt für die Division von zwei komplexen Zahlen z = z1 + z2 · i und w = w1 + w2 · i:
z
w

=

(z1 + z2 · i)
(z1 + z2 · i) · (w1 ? w2 · i)
=
(w1 + w2 · i)
(w1 + w2 · i) · (w1 ? w2 · i)

=

(z1 w1 + z2 w2 ) + (z2 w1 ? z1 w2 ) · i
.
(w1 )2 + (w2 )2

(4.22)

(a + b) · (a ? b) = a2 ? b2 ; (a + bi) · (a ? bi) = a2 + b2 .
p
Für z = ?5 + 0i gilt |z | =
(?5)2 = 5.
22
Beweis zu (4.21): |zw |2 = zw · zw = zz · ww = |z |2 · |w |2 ? |zw | = |z | · |w |.
23
Vgl. Embacher 2011, S. 20.
20
21

Komplexe Zahlen

– 11 –

Benjamin Heimann

4.3 Notwendigkeit der komplexen Zahlen
Die Bedeutung von komplexen Zahlen zeigt sich, wenn man beispielsweise die Gleichung
x2 + 2x + 10 = 0 lösen möchte. Durch quadratische Ergänzung erhält man:
(x2 + 2 · 1 · x + 12 ) ? 12 + 10

=

0

(x + 1)2 + 9

=

0

2

=

?9

| ?9
?
| …

x1,2 + 1

=

± 3i

| ?1

x1,2

=

?1 ± 3i

(x + 1)

Die Lösungen x1,2 dieser Gleichung sind Summen aus einer reellen Zahl (?1) und einer imaginären
Zahl (±3i), also komplexe Zahlen. Für den Umgang mit derartigen Gleichungen und das Weiterrechnen ist es also nötig, die Rechenregeln für komplexe Zahlen zu beherrschen.

5. Körper von C
5.1 Grundlagen
5.1.1 Was ist ein Körper?
Ein Körper ist eine algebraische Struktur, die aus einer Zahlenmenge mit zwei definierten Verknüpfungen (hier Addition und Multiplikation) besteht und in der bestimmte Axiome24 gelten. In einem Körper
können so Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auf eine bestimmte Weise durchgeführt
werden.25
5.1.2 Verknüpfungsdefinition
Bei einer Verknüpfung werden Elemente aus einer Menge auf bestimmte Weise miteinander verbunden und dieser Verknüpfung ein bestimmtes Element aus der gleichen Menge zugeordnet. Für eine
allgemeine Verknüpfung schreibt man beispielsweise das Verknüpfungszeichen ? zwischen die zu verknüpfenden Elemente. Bekannte spezifische Verknüpfungssymbole sind + (Plus), ? (Minus), · (Mal)
und : (Geteilt) und stehen für die Verknüpfungen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.26
Es sei eine Menge G = {a, b, c, …} gegeben. Ein Beispiel für eine allgemeine, zweigliedrige Verknüpfung in G ist: a ? b ? c (gelesen als „a mit b gleich c”). Ein konkretes Beispiel für eine Verknüpfung ist die Addition in N: 2 + 3 = 5. Die Elemente 2 und 3 aus N werden miteinander verknüpft und
dem Element 5 aus N zugeordnet.
5.1.3 Grundaxiome
Für die Verknüpfung von Elementen können bestimmte Rechenregeln bzw. Axiome gelten. Diese Axiome sind unter anderem das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz:

24

Ein Axiom ist ein Grundsatz, der als wahr gilt und nicht bewiesen oder begründet wird.
Vgl. Michael 2010, S. 5.
26
Vgl. Köller 2015.
25

Komplexe Zahlen

– 12 –

Benjamin Heimann

• Gilt das Assoziativgesetz, gilt, dass es bei einer mehrgliedrigen Verknüpfung (mindestens drei
Elemente) egal ist, in welcher Reihenfolge die Verknüpfungen ausgeführt werden.
Formal: (a ? b) ? c = a ? (b ? c).
Beispiel: (5 + 3) + 1 = 5 + (3 + 1) (Addition in R).
• Gilt das Kommutativgesetz, können bei einer Verknüpfung die Elemente in ihrer Reihenfolge
beliebig vertauscht werden, ohne dass dabei das Ergebnis verändert wird.
Formal: a ? b = b ? a.
Beispiel: 2 · 4 = 4 · 2 (Multiplikation in R).
• Existiert ein neutrales Element e in einer Verknüpfung, ist es das Element, das bei einer Verknüpfung mit diesem wieder das ursprüngliche Element ergibt.
Formal: a ? e = a.
Beispiel: a · 1 = a (1 als neutrales Element der Multiplikation in R).
• Existiert ein zu a inverses Element a0 , ist es das Element, das verknüpft mit a das neutrale
Element e ergibt. Das inverse Element a0 hebt die Wirkung von a auf.
Formal: a ? a0 = e.
Beispiel: a · a1 = 1 ( a1 als inverses Element von a bei der Multiplikation in R).
• Das Distributivgesetz beschreibt, wie sich zwei verschiedenartige Verknüpfungen bei der Auflösung von Klammern verhalten. Gilt das Distributivgesetz, werden Klammern so aufgelöst:
Formal: a ? (b ? c) = a ? b ? a ? c.
Beispiel: 2 · (4 + 1) = 2 · 4 + 2 · 1 (Multiplikation und Addition in R. Der Faktor 2 wird mit
jedem der Summanden in der Klammer multipliziert und diese werden zusammenaddiert).27
5.1.4 Gruppendefinition
Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer Verknüpfung, geschrieben als (G, ?), für die die Assoziativität
gilt und in der es ein neutrales Element e ? G gibt und zudem zu jedem Element a ? G ein inverses
Element a0 ? G existiert. Die Menge muss hinsichtlich der Verknüpfung abgeschlossen sein, d. h. alle
Verknüpfungen müssen wieder Elemente der Menge G sein. Falls zusätzlich noch die Kommutativität
gilt, handelt es sich um eine abelsche Gruppe.28
Beispiel: Die Gruppe (Z, +):
• Die Gruppe ist assoziativ:
(2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7)
5 + 7 = 2 + 10
12 = 12 X
• Es existiert ein neutrales Element e = 0:
6+0 = 6 X
• Es existiert zu jedem Element a ein inverses Element a0 = ?a:
5 + (?5) = 0 X

27
28

Vgl. Köller 2015.
Vgl. ebd.

Komplexe Zahlen

– 13 –

Benjamin Heimann

• Die Gruppe ist abgeschlossen. Bei der Addition von ganzen Zahlen entsteht immer wieder eine
ganze Zahl.
• Die Gruppe ist kommutativ:
1+4 = 4+1
5 = 5 X
? Bei den ganzen Zahlen mit der Addition (Z, +) handelt es sich um eine abelsche Gruppe.
5.1.5 Körperdefinition
Nachdem wir wissen, was eine Verknüpfung ist und welche Grundaxiome es gibt, können wir einen
Körper genauer definieren: Ein Körper K = (G, +, · ) ist eine Menge G aus mindestens zwei
Elementen, in der die Verknüpfungen Addition (+) und Multiplikation (·) definiert sind und für die die
folgende Aussagen und Axiome gelten:

Addition (+)

Multiplikation (·)

Die Menge G ist bezüglich der Addition abgeschlossen.

Die Menge G ist bezüglich der Multiplikation abgeschlossen.

Es gilt das Assoziativgesetz.

Es gilt das Assoziativgesetz.

Es gilt das Kommutativgesetz.

Es gilt das Kommutativgesetz.

Es existiert ein neutrales Element e, genannt Nullelement.

Es existiert ein neutrales Element e, genannt Einselement.

Es existiert zu jedem Element a ? G ein
inverses Element ?a ? G .

Es existiert zu jedem Element a ? G {0}
ein inverses Element a?1 ? G.

Bei Verbindung von Addition und Multiplikation gilt das Distributivgesetz:
a · (b + c) = a · b + a · c
Abb. 1: Körperaxiome29

Nach den Erkenntnissen aus der Gruppendefinition in 5.1.4 kann man diese Definition auf drei Axiome
zusammenfassen:
• Die Menge G bildet mit der Addition eine abelsche Gruppe.
• Die Menge G {0} bildet mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe.30
• Die beiden Verknüpfungen bzw. Operationen sind distributiv miteinander verbunden.

5.2 R als Körper
Nun ist geklärt, was ein Körper eigentlich ist. Bevor es an die komplexen Zahlen geht, zeigen wir hier
beispielhaft, dass (R, +, ·) ein Körper ist, indem wir alle Axiome aus Abb. 1 verifizieren.

29
30

Vgl. Michael 2010, S. 5.
G ohne Nullelement, weil dieses kein inverses Element besitzt.

Komplexe Zahlen

– 14 –

Benjamin Heimann

5.2.1 Axiome der Addition
• Wenn man eine reelle Zahl mit einer reellen Zahl addiert, ergibt dies immer wieder eine reelle
Zahl. Beispiel: 3 + 5 = 8 oder 9,183 + 1,457 = 10,64 ? R ist hinsichtlich der Addition
abgeschlossen.
• Die Addition ist assoziativ:
(6 + 9) + 1 = 6 + (9 + 1)
15 + 1 = 6 + 10
16 = 16 X
• Es existiert ein neutrales Element e = 0 (Nullelement):
?+0 = ? X
• Es existiert zu jedem Element a ein inverses Element a0 = ?a:
1 + (?1) = 0 X
• Die Addition ist kommutativ:
2+5 = 5+2
10 = 10 X
? Die reellen Zahlen bilden mit der Addition (R, +) eine abelsche Gruppe.
5.2.2 Axiome der Multiplikation
• Wenn man eine reelle Zahl mit einer reellen Zahl multipliziert, ergibt dies immer wieder eine
reelle Zahl. Beispiel: 12 · 2 = 24 oder 5 · 37 = 15
7 ? R ist hinsichtlich der Multiplikation
abgeschlossen.
• Die Multiplikation ist assoziativ:
(4 · 7) · 2 = 4 · (7 · 2)
28 · 2 = 4 · 14
56 = 56 X
• Es existiert ein neutrales Element e = 1 (Einselement):
?·1 = ? X
• Es existiert zu jedem Element a : a 6= 0 ein inverses Element a0 = a?1 :
? · ? ?1 = 1 X
• Die Multiplikation ist kommutativ:
(?4) · 5 = 5 · (?4)
? 20 = ?20 X
? Die reellen Zahlen bilden mit der Multiplikation (R, ·) eine abelsche Gruppe.

Komplexe Zahlen

– 15 –

Benjamin Heimann

5.2.3 Distributivität, Ergebnis
• Multiplikation und Addition sind distributiv verbunden:
3 · (1 + 2) = 3 · 1 + 3 · 2
3·3 = 3+6
9 = 9 X
Aus Abschnitt 5.2.1, 5.2.2 und 5.2.3 folgt ? Die reellen Zahlen bilden mit der Addition und der
Multiplikation (R, +, ·) einen Körper.

5.3 C als Körper
Nachdem wir gezeigt haben, dass (R, +, ·) ein Körper ist, machen wir das gleiche nun bei den komplexen Zahlen.
5.3.1 Axiome der Addition
• Wenn man eine komplexe Zahl mit einer komplexen Zahl addiert, ergibt dies immer wieder eine
reelle Zahl (Beispiel siehe 4.2.2). C ist also hinsichtlich der Addition abgeschlossen.
• Die Addition ist assoziativ:

(c1 + c2 i) + (d1 + d2 i) + (e1 + e2 i) = (c1 + c2 i) + (d1 + d2 i) + (e1 + e2 i)

(c1 + d1 ) + (c2 + d2 )i + (e1 + e2 i) = (c1 + c2 i) + (d1 + e1 ) + (d2 + e2 )i

(c1 + d1 + e1 ) + (c2 + d2 + e2 )i = (c1 + d1 + e1 ) + (c2 + d2 + e2 )i X31

(3 + 5i) + (2 + 9i) + (1 + 2i) = (3 + 5i) + (2 + 9i) + (1 + 2i)
(5 + 14i) + (1 + 2i) = (3 + 5i) + (3 + 11i)
(6 + 16i) = (6 + 16i) X

• Es existiert ein neutrales Element e = (0 + 0i) (Nullelement):

(c1 + c2 i) + (0 + 0i) = (c1 + 0) + (c2 + 0)i = (c1 + c2 i) X
(9 + 5i) + (0 + 0i) =

(9 + 0) + (5 + 0)i = (9 + 5i) X

• Es existiert zu jedem Element c = (c1 + c2 i) ein inverses Element c0 = (?c1 + (?c2 )i) :

(c1 + c2 i) + (?c1 + (?c2 )i) = (c1 ? c1 ) + (c2 ? c2 )i = (0 + 0i) X
(3 + 10i) + (?3 ? 10i) =

31

Folgt aus der Assoziativität der Addition in R.

(3 ? 3) + (10 ? 10)i = (0 + 0i) X

Komplexe Zahlen

– 16 –

Benjamin Heimann

• Die Addition ist kommutativ:

(c1 + c2 i) + (d1 + d2 i) = (d1 + d2 i) + (c1 + c2 i)

(c1 + d1 ) + (c2 + d2 )i = (d1 + c1 ) + (d2 + c2 )i X32

(7 + 8i) + (2 + 3i) = (2 + 3i) + (7 + 8i)

(7 + 2) + (8 + 3)i = (2 + 7) + (3 + 8)i
(9 + 11i) = (9 + 11i) X

? Die komplexen Zahlen bilden mit der Addition (C, +) eine abelsche Gruppe.
5.3.2 Axiome der Multiplikation
• Wenn man eine komplexe Zahl mit einer komplexen Zahl multipliziert, ergibt dies immer wieder
eine reelle Zahl (Beispiel siehe 4.2.2). C ist also hinsichtlich der Multiplikation abgeschlossen.
• Die Multiplikation ist assoziativ:

(c1 + c2 i) · (d1 + d2 i) · (e1 + e2 i) = (c1 + c2 i) · (d1 + d2 i) · (e1 + e2 i)

(c1 d1 ? c2 d2 ) + (c1 d2 + c2 d1 )i · (e1 + e2 i) = (c1 + c2 i) · (d1 e1 ? d2 e2 ) + (d1 e2 + d2 e1 )i

(c1 d1 e1 ? c2 d2 e1 ) ? (c1 d2 e2 + c2 d1 e2 ) + (c1 d1 e2 ? c2 d2 e2 ) + (c1 d2 e1 + c2 d1 e1 ) i =

(d1 e1 c1 ? d2 e2 c1 ) ? (d1 e2 c2 + d2 e1 c2 ) + (d1 e1 c2 ? d2 e2 c2 ) + (d1 e2 c1 + d2 e1 c1 ) i X33

(1 + 2i) · (3 + 4i) · (5 + 6i) = (1 + 2i) · (3 + 4i) · (5 + 6i)
(?5 + 10i) · (5 + 6i) = (1 + 2i) · (?9 + 38i)
(?85 + 20i) = (?85 + 20i) X

• Es existiert ein neutrales Element e = (1 + 0i) (Einselement):
(c1 + c2 i) · (1 + 0i) = (c1 · 1) + (c2 · 1)i = (c1 + c2 i) X34
(9 + 5i) · (1 + 0i) = (9 · 1) + (5 · 1)i = (9 + 5i) X
• Es existiert zu jedem Element c = (c1 + c2 i) : c 6= (0 + 0i) ein inverses Element
1 ?c2 i)
c0 = (c(c
2
2 :
1 ) +(c2 )
(c1 + c2 i) ·

(c1 ? c2 i)
(c1 )2 + (c2 )2
=
= (1 + 0i) X
(c1 )2 + (c2 )2
(c1 )2 + (c2 )2

(3 + 10i) ·

32

(3 ? 10i)
32 + 102
=
= (1 + 0i) X
32 + 102
32 + 102

Folgt aus der Kommutativität der Addition in R.
Folgt aus der Distributivität und der Kommutativität der Addition und Multiplikation in R.
34
siehe Abschnitt 4.2.3.
33

Komplexe Zahlen

– 17 –

Benjamin Heimann

• Die Multiplikation ist kommutativ:
(c1 + c2 i) · (d1 + d2 i) = (d1 + d2 i) · (c1 + c2 i)
(c1 d1 ? c2 d2 ) + (c1 d2 + c2 d1 )i = (d1 c1 ? d2 c2 ) + (d1 c2 + d2 c1 )i X35
(2 + 8i) · (1 + 3i) = (1 + 3i) · (2 + 8i)
(2 · 1 ? 8 · 3) + (2 · 3 + 8 · 1)i = (1 · 2 ? 3 · 8) + (1 · 8 + 3 · 2)i
(?22 + 14i) = (?22 + 14i) X

? Die komplexen Zahlen bilden mit der Multiplikation (C, ·) eine abelsche Gruppe.
5.3.3 Distributivität
• Multiplikation und Addition sind distributiv verbunden:

(c1 + c2 i) · (d1 + d2 i) + (e1 + e2 i) = (c1 + c2 i) · (d1 + d2 i) + (c1 + c2 i) · (e1 + e2 i)

(c1 + c2 i) · (d1 + e1 ) + (d2 + e2 )i =

(c1 d1 ? c2 d2 ) + (c1 d2 + c2 d1 )i + (c1 e1 ? c2 e2 ) + (c1 e2 + c2 e1 )i
(c1 d1 + c1 e1 ? c2 d2 ? c2 e2 ) + (c1 d2 + c1 e2 + c2 d1 + c2 e1 )i =
(c1 d1 ? c2 d2 + c1 e1 ? c2 e2 ) + (c1 d2 + c2 d1 + c1 e2 + c2 e1 )i X36

(7 + 2i) · (1 + 2i) + (2 + 3i) = (7 + 2i) · (1 + 2i) + (7 + 2i) · (2 + 3i)
(7 + 2i) · (3 + 5i) = (3 + 16i) + (8 + 25i)
(11 + 41i) = (11 + 41i) X
5.3.4 Ergebnis
Aus Abschnitt 5.3.1, 5.3.2 und 5.3.3 folgt ? Die komplexen Zahlen bilden mit der Addition und
der Multiplikation (C, +, ·) einen Körper. Damit haben wir verifiziert, dass man mit den komplexen
Zahlen nach den gewöhnlichen Rechenregeln addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren
kann.
Wichtig ist die Erkenntnis, dass (0 + 0 · i) das neutrale Element der Addition und (1 + 0 · i) das
neutrale Element der Multiplikation der komplexen Zahlen ist. Diese können als (0 + 0 · i) = 0 und
(1 + 0 · i) = 1 abgekürzt werden.
Außerdem von großer Bedeutung ist die Existenz des inversen Elements z ?1 für z = x + y · i .
Dieses leitet sich aus der Divisionsregel aus Abschnitt 4.2.5 ab:
z ?1 =

35
36

1
(1 + 0 · i)
(x ? y · i)
=
=
.
z
x+y·i
x2 + y 2

Folgt aus der Kommutativität der Addition und Multiplikation in R.
Folgt aus der Distributivität und der Kommutativität der Addition in R.

(5.23)

Komplexe Zahlen

– 18 –

Benjamin Heimann

Die restlichen Rechenregeln basieren auf den Rechenregeln für reelle Zahlen. Schließlich lässt sich
sagen, dass man mit den komplexen Zahlen ähnlich wie mit den reellen Zahlen rechnen kann, solange
man einige Besonderheiten, insbesondere die Einheit i, beachtet.

6. Darstellung der komplexen Zahlen
6.1 Die reellen Zahlen am Zahlenstrahl
Um auf die Darstellung der komplexen Zahlen zu kommen, blicken wir zunächst zurück und betrachten, wie man sich die reellen Zahlen vorstellen kann: Die reellen Zahlen lassen sich gut mit einem
eindimensionalen Zahlenstrahl vergleichen.37
In Abb. 2 ist die reelle Zahl 1 am Zahlenstrahl markiert. Der „Zahlenstrahl” beziehungsweise die
Achse steht für die reellen Zahlen (von ?? bis + ?). Er enthält alle reellen Zahlen (hier immer nur
ein Abschnitt abgebildet), sowohl natürliche- als auch rationale- und irrationale Zahlen wie Wurzeln.
?
Eine 1 ist auf dem Zahlenstrahl genauso darstellbar wie ? 2 (siehe Abb. 3).
1

?3

?2

?1

0

1

Reelle Zahlen (R)

2

3

Abb. 2: 1 am Zahlenstrahl

?
? 2

?
? 2

0

?

Reelle Zahlen (R)

2

?
Abb. 3: ? 2 am Zahlenstrahl

Bei dieser Darstellungsweise werden die Zahlen wie folgt dargestellt:
• Der Zahlenstrahl stellt den Verlauf der reellen Zahlen R dar.
• Der Ursprung liegt bei 0 und ist ebenfalls der Mittelpunkt.
• Eine Zahl r ? R wird als Vektor ~r, beginnend beim Ursprung, dargestellt.
• Der Vektor hat die Länge des Betrages der Zahl (|~r | = |r |) und heißt korrespondierender Vektor
von r.
• Der Vektor einer positiven Zahl (r > 0) zeigt vom Ursprung aus nach rechts.
• Der Vektor einer negativen Zahl (r < 0) zeigt vom Ursprung aus nach links.
• Der Vektor der Zahl r = 0 heißt Nullvektor, hat die Länge 0 und wird nicht dargestellt.
6.1.1 Addition am Zahlenstrahl
Die Addition von Zahlen am Zahlenstrahl ist einfach zu erklären: Möchte man eine Zahl a mit einer
Zahl b (a, b ? R) am Zahlenstrahl addieren und b ist positiv, muss man ~a am Zahlenstrahl um |~b| nach

37

Vgl. Niederdrenk-Felgner 2004, S. 8f.

Komplexe Zahlen

– 19 –

Benjamin Heimann

rechts verlängern38 bzw. abtragen, um zum Ergebnis zu gelangen. Ist b dagegen negativ, muss ~a um
|~b| nach links abgetragen werden. Das Ergebnis ist dabei wieder ein Vektor.
Alternativ kann man, wie bei der Vektoraddition, ~b an das Ende von ~a setzen und erhält den resul????
tierenden Vektor a + b. Dabei spielt es keine Rolle, ob man ~b an ~a ansetzt oder ~a an ~b (ob man |~b| von
~a oder |~a | von ~b abträgt). Die Addition am Zahlenstrahl ist also kommutativ.
Beispiel für die Addition: siehe Abb. 4.
Die Subtraktion muss nicht näher erläutert werden, da sie der Addition mit negativem Vorzeichen
(beim Subtrahenden) entspricht.
?1+2=1
+2
?1

?3

?2

2

?1

0

1

2

Reelle Zahlen (R)

3

Abb. 4: ?1 + 2 am Zahlenstrahl39

6.1.2 Multiplikation am Zahlenstrahl
Die Multiplikation am Zahlenstrahl ist ebenso simpel wie die Addition. Wir starten mit einem Beispiel:
Wenn man die Zahl 3 mit der Zahl 2 multiplizieren will, muss man den korrespondierenden Vektor
~3 am Zahlenstrahl um den Faktor 2 strecken (siehe Abb. 5). Möchte man 3 mit ?2 multiplizieren,
muss man ~3 ebenso am Zahlenstrahl um den Faktor 2 strecken. Weil aber ein negatives Ergebnis
herauskommen muss, muss der Vektor zusätzlich noch am Ursprung vertikal gespiegelt (siehe Abb. 6)
werden. Dies entspricht einer Drehung40 des Vektors um 180°. Allgemein werden die Winkel41 der
beiden Vektoren addiert.
3·2=6
2
3

?8

?6

?4

?2

0

2

Reelle Zahlen (R)

4

6

8

Abb. 5: 3 · 2 am Zahlenstrahl

3 · (?2) = ?6
180°

?2
3

?8

?6

?4

?2

0

2

Reelle Zahlen (R)

4

6

8

Abb. 6: 3 · (?2) am Zahlenstrahl

Für die Multiplikation gilt also: Möchte man eine Zahl a mit einer Zahl b (a, b ? R) am Zahlenstrahl
multiplizieren und b ist positiv, muss ~a um |~b| gestreckt (bei |~b| < 1 gestaucht) werden, um zum

38

Da der Vektor dabei nicht immer verlängert wird, ist im Folgenden von „abtragen” die Rede.
Die vertikalen Abstände zwischen den Vektoren (und dem Zahlenstrahl) dienen lediglich der Übersichtlichkeit, haben
sonst aber keine Bedeutung. Man stelle sich vor, die Vektoren lägen alle auf der Achse auf.
40
Die Vektoren werden gegen den Uhrzeigersinn gedreht.
41
Hier und im Folgenden ist der Winkel am Ursprung zwischen positivem „Schenkel” des Zahlenstrahls und Vektor gemeint.
39

Komplexe Zahlen

– 20 –

Benjamin Heimann

Ergebnis zu gelangen. Ist b dagegen negativ, muss ~a ebenso um |~b| gestreckt bzw. gestaucht, aber
gleichzeitig auch um 180° gedreht werden
(bzw.
???
der Winkel um 180° erhöht werden). Das Ergebnis
der Multiplikation ist wieder ein Vektor a · b . Ist b = 0, ist das Ergebnis auch 0 (Nullvektor).
Es ist egal, in welcher Reihenfolge die Vektoren multipliziert werden. Die Multiplikation am Zahlenstrahl ist daher auch kommutativ.
Möchte man zwei Zahlen am Zahlenstrahl dividieren, funktioniert dies ebenso wie die Multiplikation am Zahlenstrahl, wobei der Kehrwert des Divisors als Multiplikator fungiert.

6.2 Die imaginären Zahlen am Zahlenstrahl
Wir haben uns angeschaut, wie man die reellen Zahlen am Zahlenstrahl darstellen kann. Wie könnte
man nun die imaginären Zahlen beschreiben? Im vorherigen Abschnitt, bei der Multiplikation von
reellen Zahlen am Zahlenstrahl, haben wir herausgefunden, dass sich bei diesem Modell der Vektor
bei einer Multiplikation mit ?1 um 180° dreht. Multipliziert man ihn zweimal in Folge mit ?1, also
mit (?1)2 , entspricht dies einer Drehung um 180° + 180° = 360°. Die Winkel addieren sich auf, wie
bereits in Abschnitt ?? festgestellt.
Doch gibt es auch eine Zahl x, die nach zweimaligem Multiplizieren eine Drehung um nur 180° bewirkt (x2 = ?1)? Es gibt bekanntlich keine reelle Zahl die diese Bedingung erfüllt. Doch ziehen wir
?
die imaginären Zahlen hinzu, wird dies plötzlich möglich. Die imaginäre Zahl i entspricht ?1. Wenn
man also zweimal in Folge mit i multipliziert, entspricht dies einer Multiplikation mit i2 = ?1, also
einer Drehung um 180°. Da sich der Winkel additiv vergrößert, entspricht eine Multiplikation mit i1
42
einer Drehung um 180°
2 = 90°.
Wenn wir also gemäß der Winkeladdition der Multiplikation am Zahlenstrahl vorgehen, muss sich
der korrespondierende Vektor einer reellen Zahl bei einer Multiplikation mit i oder einer anderen
imaginären Zahl um 90° gegen den Uhrzeigersinn drehen. Daher liegen i und alle anderen imaginären
Zahlen nicht mehr auf der gleichen Achse wie die reellen Zahlen, sondern senkrecht zu ihnen (siehe
Abb. 7, 8).
Der Vektor i hat somit, weil er ein um 90° gedrehter Vektor 1 ist (weil i = 1 · i), die Länge 1
und steht senkrecht zu den reellen Zahlen (siehe Abb. 7). Alle Vektoren von Vielfachen von i stehen
ebenfalls senkrecht zu den reellen Zahlen und haben die gleiche Länge wie ihre Entsprechungen in
den reellen Zahlen (siehe Abb. 8).
1·i=i
90°
1

?3

?2

?1

0

1

Reelle Zahlen (R)

2

3

Abb. 7: 1 · i am Zahlenstrahl

Dies veranschaulicht sehr gut, dass die imaginären Zahlen nicht auf der reellen Achse liegen können. Die imaginären Zahlen sind anders als die reellen Zahlen und benötigen eine eigene Achse, eine
eigene Dimension. Um den ursprünglich eindimensionalen Zahlenstrahl auf die imaginären Zahlen zu

42

Vgl. Niederdrenk-Felgner 2004, S. 11f.

Komplexe Zahlen

– 21 –

Benjamin Heimann

3 · i = 3i

i
90°
3

?8

?6

?4

?2

0

2

Reelle Zahlen (R)

4

6

8

Abb. 8: 3 · i am Zahlenstrahl

erweitern, müssen wir ihn also um eine Dimension erweitern, die Dimension der Imaginären Zahlen.
Das leitet uns zu der Darstellung der komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene.

6.3 Die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene
Die Darstellung der komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene, kurz Gaußebene, funktioniert
ähnlich, wie wir nach Abschnitt 6.1 und 6.2 vermutet haben. Eine komplexe Zahl z = x + yi , mit
ihrem Realteil x und ihrem Imaginärteil y, wird im Koordinatensystem als zweidimensionaler Vektor
vom Ursprung zum Punkt (x, y) dargestellt.
Dabei gibt es die Dimension der reellen Zahlen, hier als „Realteil” oder „reelle Achse” bezeichnet,
und die Dimension der imaginären Zahlen (ebenfalls in reellen Zahlen gemessen), hier als „Imaginärteil” oder „imaginäre Achse” bezeichnet. Die reelle Achse verläuft horizontal, während die imaginäre
Achse vertikal verläuft.
Zur Darstellung einer komplexen Zahl, trägt man den Punkt (x, y) in das Koordinatensystem ein und
zeichnet einen Vektor vom Ursprung zu diesem Punkt. Für diese Darstellungsweise ist die Notation
der komplexen Zahlen als Tupel, wie in Abschnitt 4.1 beschrieben, gut geeignet, da dies der Notation
eines Zeilenvektors (x, y) gleicht. Wir benutzen hier jedoch weiterhin die geläufigere arithmetische
Form. Ein Beispiel für die Abbildung einer komplexen Zahl in der Gaußebene gibt es in Abb. 9.43
Im

Im

4

?z
3

y

z = x + yi

z = 2,5 + 2,5i

2
x

Re

y

?z

1
x

0
0

1

z

Re
2

3

4

Abb. 9: z = 2 + 2i in der Gaußebene

Abb. 10: Komplexe Konjugation in der Gaußebene

Schaut man sich die Abbildung an und erinnert sich an die Aussage aus 4.2.444 , bemerkt man hier
auch den geometrischen Bezug. Der Vektor ~z und die beiden Seiten x und y bilden zusammen ein

43
44

Vgl. Königsberger 1995, S. 23.
p
„Der Betrag |z | = x 2 + y 2 ist die Länge von ~z ”

Komplexe Zahlen

– 22 –

Benjamin Heimann

rechtwinkliges Dreieck. Daher gilt der Satz des Pythagoras45 , mit x und y als Katheten und der Länge
p
bzw. dem Betrag46 von z als Hypotenuse: x2 + y 2 = |z |2 , woraus folgt, dass |z | = x2 + y 2 ist.
In Abb. 10 erkennt man den grafischen Zusammenhang zwischen der komplexen Zahl z, ihrer komplex Konjugierten und den beiden negativen Versionen. Die komplex Konjugierte z ist der an der reellen Achse gespiegelte Vektor von z. Die negative komplex Konjugierte ?z ist der an der imaginären
Achse gespiegelte Vektor von z und ?z wiederum der an der reellen Achse gespiegelte Vektor von
?z. Zusammengefasst: Spiegelt man den Vektor einer komplexen Zahl an der reellen Achse, erhält
man die komplex Konjugierte dieser Zahl. Spiegelt man dagegen den Vektor an der imaginären Achse,
erhält man die negative komplex Konjugierte.
6.3.1 Addition in der Gaußebene
Die Addition in der Gaußebene funktioniert analog wie die Addition von Vektoren. Bei der Addition
von zwei komplexen Zahlen setzt man den Vektor der einen Zahl an das Ende des Vektors der anderen
Zahl (siehe Abb. 11)47 , auch „Kräfteparallelogramm” genannt. Ein Beispiel gibt es in Abb. 12.48
Im

Im
4

z+w

z + w = 4 + 3i
3

w

w=1+2i

2
1

z

0

Re
0
Abb. 11: Addition in der Gaußebene

z=3+1i

0

Re
0

1

2

3

4

Abb. 12: z + w in der Gaußebene

Die Gaußebene eignet sich, im Gegensatz zur Addition, nicht so gut zur Darstellung der Multiplikation von komplexen Zahlen. Dazu führen wir im nächsten Abschnitt die Polarform ein, die sich deutlich
besser dafür eignet.

6.4 Die komplexen Zahlen in Polarform
Bei der Darstellung in Polarkoordinaten werden die komplexen Zahlen ebenfalls als Vektoren in einem
Koordinatensystem mit einer reellen und einer imaginären Achse abgebildet. Der wesentliche Unterschied zu der Darstellung in der Gaußebene ist, dass eine komplexe Zahl z = x + yi bzw. ihr Vektor
in einem anderen Koordinatenformat als im kartesischen angegeben wird.

45

In einem rechtwinkligen Dreieck bildet die Summe aus den beiden Kathetenquadraten das Hypotenusenquadrat. Als
Gleichung: a2 + b2 = c2 .
46
Auch abseits der komplexen Zahlen ist der Betrag eines Vektors dessen Länge und wird auf die selbe Art berechnet.
47
Vgl. Königsberger 1995, S. 23.
48
Vgl. ebd., S. 23.

Komplexe Zahlen

– 23 –

Benjamin Heimann

Im

z

r=

|z |

y

?
0
x

0

Re

Abb. 13: Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten

Jeder Punkt im Koordinatensystem, hier Pol genannt, wird durch einen Winkel ? und einen Radius r
beschrieben (siehe Abb. 13). Man schreibt die Koordinate eines Pols als Tupel (r, ?). Statt x und y
Koordinaten haben wir nun also einen Winkel und eine Länge. Der Winkel ? ist dabei der Winkel
zwischen der reellen Achse und dem Vektor und wird im Bogenmaß angegeben (0 ? ? ? 2?).
Der Radius ist die Länge des Vektors, also |z |.49 Zur Darstellung einer komplexen Zahl zeichnet man
einen Vektor vom Ursprung zu dessen Pol. Diese Art der Koordinatenbeschreibung ist zwar zunächst
ungewohnt, birgt jedoch einige Vorteile, auf die wir gleich zu sprechen kommen.
Ein Beispiel für eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten wäre z = (2; 1,534).
Da es sich bei dem Dreieck der Längen r, x und y um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, gelten die
bekannten Winkelbeziehungen und es gilt:
x
r
y
sin(?) =
r

cos(?) =

? x = r · cos(?)

(6.24)

? y = r · sin(?).

(6.25)

Daher lässt sich eine komplexe Zahl z = x + y · i auch in der Polarform schreiben:
z

=

r · cos(?) + r · sin(?) · i

=

r · (cos(?) + sin(?) · i) .

(6.26)

Hat man eine komplexe Zahl in arithmetischer Form z = x + yi , kann man diese auch in Polarkoordinaten umwandeln:50
p
r = |z | =
x2 + y 2
?
?arccos x
(6.27)
für y ? 0
r
? =

?2? ? arccos x
für y < 0.
r

49
50

Vgl. Embacher 2011, S. 25f.
Im Prinzip eignen sich alle Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen zum Berechnen von ? und man könnte

annehmen, es wäre einfacher den Winkel mit ? = arctan xy zu berechnen. Da jedoch keine der trigonometrischen
Funktionen im Intervall 0, 2? bijektiv ist und es so zu Fehlern bei Benutzung der entsprechenden Umkehrfunktionen
kommen kann, empfehle ich die angegebene Fallunterscheidung zur Berechnung des Intervalls. (Vgl. Wikipedia 2017)

Komplexe Zahlen

– 24 –

Benjamin Heimann

6.4.1 Multiplikation
Der größte Vorteil der Polarform ist die einfache Multiplizierbarkeit von komplexen Zahlen. Die beiden
komplexen Zahlen z = rz (cos (?z ) + sin (?z ) i) und w = rw (cos (?w ) + sin (?w ) i) werden so
miteinander multipliziert:51

z · w = rz cos (?z ) + sin (?z ) i · rw cos (?w ) + sin (?w ) i

= rz rw · cos ?z cos ?w + i cos ?z sin ?w + i sin ?z i cos ?w ? sin ?z sin ?w

= rz rw · cos ?z cos ?w ? sin ?z sin ?w + cos ?z sin ?w + sin ?z cos ?w i

= rz rw · cos (?z + ?w ) + sin (?z + ?w ) i .
(6.28)
Zusammengefasst müssen lediglich, wie bereits bei der Multiplikation am Zahlenstrahl in 6.1.2, die
Winkel ?z und ?w addiert und die beiden Radien miteinander multipliziert werden und ergeben den
neuen Winkel und den neuen Radius des Produktes. Das Produkt aus zwei komplexen Zahlen ist also
grafisch der um rw gestreckte und um ?w gedrehte Vektor von z (siehe 14).52 . Die Division funktioniert
dabei ähnlich. Der Winkel des Divisors wird dabei aber vom Dividenden abgezogen.
Im

z·w

w
?
1+

2

z
?2
?1

0

Re

0
Abb. 14: Multiplikation in Polarkoordinaten

6.4.2 Exponentialform
Mit dem Radius r = |z | und dem Winkel ? kann man eine komplexe Zahl wegen der Eulerschen
Formel53 eiy = cos(y) + sin(y)i auch in Exponentialform zur Basis e (Eulersche Zahl) schreiben.54
Dabei gilt:
z = r · ei·? .

(6.29)

In dieser Form lässt sich noch leichter mit der komplexen Zahl rechnen, da die vielen distributiven
Rechenschritte wegfallen, weil es sich nur noch um ein Produkt handelt. So kann zum Beispiel die

51

Die Umformung basiert auf den Additionssätzen von Cosinus und Sinus:
cos (? + ?) = cos ? cos ? ? sin ? sin ?; sin (? + ?) = cos ? sin ? ? sin ? cos ?.
52
Vgl. Niederdrenk-Felgner 2004, S. 30.
53
Diese werden wir hier nicht herleiten, da dies zu umfangreich und zu weit entfernt vom eigentlichen Thema wäre.
54
Embacher 2011, S. 33.

Komplexe Zahlen

– 25 –

Benjamin Heimann

Multiplikation, ähnlich wie in der Polarform, sehr einfach durchgeführt werden, indem unter anderem
die Winkel im Exponenten addiert werden:

z · w = rz · e(i·?z ) · rw · e(i·?w )
= rz · rw · e(i·?z + i·?w )
= rz rw · ei (?z + ?w ) .
Auch das Ziehen von Wurzeln aus komplexen Zahlen ist damit sehr einfach:
p
?
z =
r · e(i·?)
? p (i·?)
=
r· e
? (i·?) 12
=
r· e

?
1
=
r · e i· 2 ? .
Zum Ziehen der Quadratwurzel muss also beispielsweise lediglich der Winkel halbiert und die Wurzel
vom Radius gezogen werden.
Allgemein gilt für Potenzen, also auch umgeschriebene Wurzeln, von z:

n
z n = r · e(i·?)
= rn · e(i·n?) .

7. Anwendung in der Physik: Überlagerung von Schwingungen
Wir haben nun die komplexen Zahlen kennengelernt und von vielen Aspekten aus betrachtet. Außerdem wissen wir bereits aus Abschnitt 4.3, dass komplexe Zahlen Lösungen von reellen Gleichungen
sein können. Nun schauen wir uns in einem konkreten Anwendungsfall in der Physik an, welchen
Nutzen die komplexen Zahlen in der Praxis haben.
Dazu untersuchen wir die Überlagerung von zwei phasenverschobenen sinusförmigen Schwingungen. Es seien die beiden Schwingungen sin (wt) und 12 cos (wt) , die sich überlagern, gegeben. Die
Amplitude A und die Phasenverschiebung ? der resultierenden Schwingung A sin (wt + ?) sind
gesucht. Dieses Problem ist zwar auch im reellen lösbar, aber dann auch mit einem enormen Rechenaufwand verbunden. Die komplexen Zahlen erleichtern einem das Rechnen.
Da der Cosinus nur eine um ? ?2 verschobene Sinusfunktion ist, kann man ihn entsprechend umschreiben:

1
?
A sin (wt + ?) = sin (wt) + sin wt +
.
2
2
Weil sin (wt) = Im(eiwt ) gilt, kann man die Sinusfunktionen auch als Imaginärteile von komplexen
Zahlen schreiben:
Im(Aei(wt+?) ) = Im(eiwt ) + Im(ei

wt+ ?2

).

Daraus folgt, dass auch die vollständigen komplexen Zahlen gleich sein müssen, denn alle Funktionen
sind vom gleichen Winkel abhängig.
?

Aei(wt+?) = eiwt + ei

wt+ ?2

.

Komplexe Zahlen

– 26 –

Benjamin Heimann

Wir haben nun also eine Summe aus zwei komplexen Zahlen, abhängig von t. Die Gleichung gilt für
alle möglichen Zeitpunkte t, daher kann man in t eine beliebige Zahl einsetzen, um anschließend umformen zu können. Es bietet sich an, für t = 0 einzusetzen, da man dadurch die Phasenverschiebung
? sehr leicht berechnen kann.
Aei(w·0+?) = eiw·0 + ei

wt·0+ ?2

?

Aei? = e0 + ei 2
1
Aei? = 1 + i.
2

Wir haben nun eine komplexe Zahl in arithmetischer Form für den Zeitpunkt t = 0 berechnet. Mithilfe
von (6.27) lässt sich die Amplitude (Radius) und der Winkel ? zu diesem Zeitpunkt, der der Phasenverschiebung entspricht, berechnen:
1
z = 1+ i
s 2
?
1 2
5
2
r =
1 +
=
2
2
!
1
? = arccos ?
? 0,464.
5
2

Somit haben wir nun die Amplitude und den Winkel ? von Aei? herausgefunden. Es gilt:
?
5 i·0,464
i?
Ae
=
·e
2
?
5 i(wt+0,464)
Aei(wt+?) =
·e
2
!
?
5 i(wt+0,464)
i(wt+?)
? Im(Ae
) = Im
·e
2
?
5
? A sin (wt + ?) =
· sin (wt + 0,464).
2
Aus der komplexen Funktion Aei(wt+?) mit ihrem Winkel und der Amplitude folgt, dass der Imaginärteil, als Sinus geschrieben, ebenfalls den gleichen Winkel und die gleiche Amplitude hat.55 Damit ist
auch die Eingangsgleichung gelöst und wir haben die resultierende Schwingung, im reellen, gefunden:
sin (wt + 0,464) .56

55
56

Wegen Aei(wt+?) = A cos (wt + ?) + A sin (wt + ?)i.
Vgl. Uhl 2017.

Komplexe Zahlen

– 27 –

Benjamin Heimann

Quellen
Literatur
Embacher, Franz (2011). “Komplexe Zahlen”. In: Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium
Physik. 2., überarbeitete Auflage. Wiesbaden: Vieweg+Teubner.
Königsberger, Konrad (1995). Analysis 1. 3. Auflage. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag.
Lang, Christian B. und Norbert Pucker (2016). “Komplexe Zahlen”. In: Mathematische Methoden in
der Physik. 3. Auflage. Lehrbuch. Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum.
Niederdrenk-Felgner, Cornelia (2004). LS Komplexe Zahlen. Mathematisches Unterrichtswerk für Gymnasien. Stuttgart: Klett.
Schulministerium NRW (2014). Mathematik. Kernlehrplan für die Sekundarstufe II Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen.

Internet
Apsel, Matthias (2003). Potenzen von i.
pdf (besucht am 16. 02. 2018).

: http://matthias.apsel-mv.de/pdf/ma10_014.

Köller, Jürgen (2015). Körper in der Algebra.
: http://www.mathematische-basteleien.de/
koerper.htm (besucht am 18. 02. 2018).
Michael (2010). Gruppen, Ringe, Körper.
: http : / / www . stksachs . uni – leipzig . de / tl _
files / media / pdf / lehrbuecher / mathematik / propaed / gruppenringekoerper . pdf
(besucht am 18. 02. 2018).
Uhl, Christian (2017). Anwendungsbeispiel (komplexe Zahlen): Überlagerung von Schwingungen.
https://www.youtube.com/watch?v=VVzEt-pXx_Q (besucht am 21. 02. 2018).

:

Wikipedia (2017). Polarkoordinaten.
: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=
Polarkoordinaten&oldid=172442250 (besucht am 20. 02. 2018).

Abbildungen
sofatutor GmbH (o. J.). Menge der Komplexen Zahlen. (Abbildung des Deckblattes).
: https://
www.sofatutor.com/mathematik/zahlen-rechnen-und-groessen/zahlenbereicheund-stellenwertsysteme/komplexe-zahlen (besucht am 19. 01. 2018).
Sonstige Abbildungen: selbst erstellt (2018).

– 28 –

Protokoll: Unterrichtsstunde
1. Begrüßung und Vorstellung des Themas (5 min)
2. Einführung der Imaginären Zahlen, der imaginären Einheit i (10 min)
a. Schüleraufgabe EA: Bestimme Rechenvorschrift für Potenzen von i (4 min)
b. Schüleraufgabe PL: Löse die Gleichung x² + 4x + 20 (3 min)
3. Einführung komplexer Zahlen
a. Definition als z=x+iy

(10 min)

b. Addition und Multiplikation in C (5 min)
c. Komplexe Konjugation, Betrag von z (5 min)
d. Division in C (5 min)
4. Darstellung komplexer Zahlen
a. Reelle und Imaginäre Zahlen am Zahlenstrahl (10 min)
b. Gaußsche Zahlenebene (10 min)
i. Übungsaufgabe 1) EA (5 min)
c. Polarkoordinaten (10 min)
d. Exponentialform (5 min)
i. Hausaufgaben 2), 6)
*-Aufgabe: 7).

– 29 –

Komplexe Zahlen: Übungsaufgaben
z3 = ?2,

Aufgabe 1: Gegeben sind die vier komplexen Zahlen z1 = 2 + 2i, z2 = 3i,
z4 = ?1 ? i.
a) Skizzieren Sie z1 , z2 , z3 , z4 in der Gaußschen Zahlenebene.

b) Geben Sie fu?r jede der vier Zahlen z1 , z2 , z3 , z4 Real- und Imagina?rteil an.
c) Bestimmen Sie z?1 , z?2 , z?3 , z?4 .
d) Zeichnen Sie die in c) bestimmten Zahlen auch noch in Ihre Skizze ein.
?

3?

Aufgabe 2: Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 3ej 6 , z2 = 2ej 4 , z3 = 4ej? , z4 =
?
2e?j 2 ,
a) Skizzieren Sie die vier Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene, ohne vorher Real- und
Imagina?rteil auszurechnen.
b) Berechnen Sie nun (nach Erstellung der Skizze) Re (z) und Im (z) fu?r jede der vier
gegebenen Zahlen z.
c) Passen die Ergebnisse Ihrer Rechnungen zu Ihrer Skizze? (TR fu?r z1 , z2 .)
Aufgabe 3: Wandeln Sie die folgenden Zahlen aus der Exponentialform in die kartesische
Form um.
?
? 5?
?
?
a) z1 = 3ej 6 , b) z2 = 2e?j 4 , c) z3 = 4ej 2 .
Aufgabe 4: Berechnen Sie |z| und arg(z) fu?r jede der vier Zahlen z aus Aufgabe 1.
Aufgabe 5: Wandeln Sie die folgenden Zahlen aus der kartesische Form in die Exponentialform um.
?
?
?
?
a) z1 = 4 3 + 4j, b) z2 = 4 3 ? 4j, c) z3 = ?3 + 3j, d) z4 = ?2 2 ? 2 2j.
Aufgabe 6: Bei den folgenden Zahlen ko?nnen Sie die Exponentialform bestimmen, ohne zu
rechnen! Wie lautet sie?
a) z1 = 5,

b) z2 = 6j,

c) z3 = ?7,

d) z4 = ?8j.

Aufgabe 7: Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, ?, fu?r die die Gleichung x ? 5j = 10ej?
erfu?llt ist.
Aufgabe 8: Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen z1 = 5+j und z2 = 2?2j. Berechnen
Sie
a) z1 + z2

b) z1 ? z2

c) z1 · z2

d) z1 : z2

e) z12 + z22

Aufgabe 9: Wenn z = x + yj ist, dann ist
a) z + z ? = ?

b) z ? z ? = ?

c) z · z ? = ?

d) z : z ? = ?

e) Re (z ?2 ) = ?

Aufgabe 10: Bestimmen Sie Real- und Imagina?rteil der folgenden komplexen Zahlen.
?
?2 + 7j
1+j
1?j
1 + 3j
2ej 4
a)
b)
c)
?
d)
15j
1?j
1 + 2j 1 ? 2j
(?1 + j)(2 ? 2j)
?

Aufgabe 11: Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 8ej 6 und z2 = 4ej
a) Berechnen Sie z1 · z2 sowie zz12 . Rechnen Sie in Exponentialform.

5?
6

b) Wandeln Sie anschließend die Ergebnisse (also das Produkt und den Quotienten) in
kartesische Form um.

– 30 –

Komplexe Zahlen
Imaginäre Zahlen sind die Quadratwurzeln von negativen Zahlen. Sie werden in der Einheit i
geschrieben, für die gilt ? = +??? und ?? = ??. Beispiel: ???? = ??? ? ??? = ?? . Wurzeln
negativer Zahlen müssen immer sofort in die Einheit i umgewandelt werden! Multipliziert man zwei
imaginäre Zahlen, entsteht wieder eine reelle Zahl: ?? ? ?? = ???? = ??? .
Achtung: ??? ? ??? ? ?(??) ? (??) = ??
Die Gleichung ?? = ?? hat, wie eine reelle Gleichung, zwei Ergebnisse: ??,? = ± ??? = ± ? .
Die komplexen Zahlen ? sind Verbindungen aus reellen und imaginären Zahlen und werden so notiert:
? = ? + ? ? ? . Dabei sind x und y beides reelle Zahlen. x heißt Realteil und y Imaginärteil von z. Die
beiden Teile können nicht zusammengerechnet werden, das + dient eher als Trennzeichen der beiden
Teile. Ein Beispiel: ? = ? + ?? (eine komplexe Zahl bestehend aus der reellen Zahl 3 und der imaginären
Zahl 5i).
Komplexe Zahlen werden addiert, indem die jeweiligen Real- und Imaginärteile addiert werden:
(? + ??) + (? + ??) = (? + ?) + (? + ?)? = ? + ?? .
Komplexe Zahlen werden multipliziert wie beim Ausmultiplizieren von zwei Klammern:
(? + ??) ? (? + ??) = ? + ??? + ?? ? ? = ?? + ??? (Achtung: i² = -1)
Die Zahl, dessen Imaginärteil das gegenteilige Vorzeichen hat, heißt zu z komplex konjugierte Zahl: ? =
? ? ? ? ? . Nach der dritten binomischen Formel gilt: ? ? ?? = ?? + ?? . Die Wurzel daraus ist der Betrag
der komplexen Zahl: |?| = ??? + ?? . Geometrisch ist der Betrag die Länge des Vektors der komplexen
Zahl.
Komplexe Zahlen werden dividiert, indem der Bruch mit der komplex Konjugierten des Nenners
erweitert wird:

(?+??)
(?+??)

=

(?+??)?(????)
(?+??)?(????)

=

(?+??)(????)
?? + ??

=

(??+??)
??

=

??
?
+ ?? ?
??

.

Komplexe Zahlen werden als Vektor im Koordinatensystem dargestellt (Gaußebene genannt). Auf der
horizontalen Achse liegen die reellen Zahlen bzw. der Realteil und auf der vertikalen Achse die
imaginären Zahlen bzw. der Imaginärteil. Zum Abbilden einer komplexen Zahl malt man einen Vektor
vom Ursprung zu den Koordinaten von z. Der Realteil x ist dabei die x-Koordinate und der Imaginärteil y
die y-Koordinate (siehe Abb. 9). Die Addition von zwei komplexen Zahlen funktioniert wie die
Vektoraddition (siehe Abb. 12).
Komplexe Zahlen lassen sich auch in der Exponentialform darstellen, mit der man leichter multiplizieren
und potenzieren kann: ? = ? + ?? = ? ? ?? ?. Der Radius r ist dabei der Betrag von z und der Winkel
?
?

?
?

? lässt sich so berechnen: ? = ?????? ( ) ? ? ? ?; ? = ?? ? ?????? ( ) ? ? < ? . Beim

Multiplizieren von zwei komplexen Zahlen in Exponentialform muss man nur die Radien multiplizieren
und die Winkel addieren: ? ? ? = ?? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? = ?? ?? ? ?? (?? +??) .

4

4

3

3

z = 2,5 + 2,5i
y
x

1

2

3

4

Re

Abb. 9: z = 2 + 2i in der Gaußebene

z = x + yi

y

x

1

1
0

?z
z+w
=4 + 3i

w=1+2i

2

2

0

Im

Im

Im

?z

z=3+1i

Re

z

Re

0
0

1

2

3

4

Abb. 12: z + w in der Gaußebene

Abb. 10: Komplexe Konjugation in der
Gaußebene

Komplexe Zahlen

– 31 –

Benjamin Heimann

Eigenständigkeitserklärung
Hiermit versichere ich, dass ich die Facharbeit selbständig angefertigt, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und alle Stellen der Facharbeit, die wörtlich oder sinngemäß aus anderen
Quellen (auch aus dem Internet) stammen oder anderen Werken entnommen wurden, als solche gekennzeichnet und mit genauer Angabe der Fundstelle versehen habe.
Verwendete Informationen aus dem Internet sind dem Lehrer vollständig im Ausdruck bzw. auf elektronischem Datenträger zur Verfügung gestellt worden.

Bonn, den 23. Februar 2018

Benjamin Heimann